Archivos Mensuales: abril 2013

Curvas paramétricas y animaciones en Geogebra

Si tuvisteis la oportunidad de ver el artículo Rondando voy en el zombi de Schrödinger, habréis visto una serie de animaciones para explicar la condición de rodadura. Hoy voy a explicar como se pueden hacer estas animaciones gracias a Geogebra. En este caso partícular usaré la versión 4.2 de la herramienta, explicaré como se animan  curvas paramétricas en esta herramienta y finalmente enlazaré a la animación completa en Geogebratube para que podáis disponer de ella.

cicloide4a

¿hipnótico verdad?

Curvas paramétricas.

Para seguir esta primera parte de la explicación puedes descargarte el fichero Geogebra usado aquí.

Para empezar tenemos que hablar de curvas paramétricas en Geogebra. Su uso es muy sencillo una vez conoces la base. Para tener una curva paramétrica en dos dimensiones necesitamos dos funciones, una función para x y otra para y, ambas en función de un parámetro común t, así que el primer paso será la creación de estas funciones.

Para crear las funciones basta con situarnos en el campo de entrada de geogebra e introducir las funciones una a una:

Puede verse f(x) definida y g(x) definiéndose en el cuadro de comandos.

Puede verse f(x) definida y g(x) definiéndose en el cuadro de comandos.

Ahora podréis ver en la lista de elementos que tenéis vuestras dos funciones definidas. Vamos a crear la curva paramétrica a partir de ellas. Para ello ocultamos primero las dos funciones creadas, nos situamos de nuevo en el campo de entrada e introducimos el siguiente comando:

Curva[f(t),g(t),t,0,2π]

Esta orden indica a Geogebra que tiene que crear una curva paramétrica con las funciones f y g como entrada para los valores (x,y), el parámetro común a ambas será t y estará definido entre 0 y 10. Veamos que pasa en Geogebra cuando definimos esta curva:

parametrica

Si alguna vez habéis hecho prácticas con un osciloscopio o habéis estudiado combinaciones de ondas en dos dimensiones seguro que os suena esta figura de Lissajous.

Podéis ver por un lado las funciones definidas a las que les hemos desmarcado su opción de visibilidad y por otro lado la curva paramétrica (en este caso una figura de Lissajous) con el valor a.

Animando curvas.

¿Y cómo animo estas curvas? Hay una forma muy elegante de realizar la animación en Geogebra. Lo primero que haremos será crear un deslizador t_1, los límites del mismo serán 0 y 2*pi. Un deslizador es el elemento base para la animación en Geogebra, con estos elementos puedes variar el valor de un número y asociarlo a distintos elementos gráficos de forma que varíe su comportamiento.

Ahora solo tenemos que asociar el límite superior del parámetro que define el dominio para nuestra curva al valor del deslizador que hemos definido. De esta forma la curva se irá formando a medida que cambie el valor del deslizador. Para ello hacemos doble click sobre la curva y editamos su definición cambiando el 10 por t_1:

Curva[f(t), g(t), t, 0, t_1]

Para probarlo podemos mover el deslizador manualmente para ver como se crea la curva, o ponerlo en modo automático. Finalmente  colocamos el deslizador en su posición inicial (importante para animar) y nos vamos al menú Archivo->exporta->Vista gráfica como gif animado

dialogo

En el diálogo he seleccionado 100ms entre frames y he marcado que la animación sea un bucle, aquí podéis ver el resultado:

parametricaanimada

Puede verse como el valor t_1 oscila creando primero y eliminando después la curva en un bucle continuo.

Hay que tener en cuenta que Geogebra animará la parte de la pantalla que este visible en ese momento, por lo que antes de crear el gif animado deberéis ajustar la vista gráfica para que se adapte a vuestras necesidades.

Adornando las curvas.

Pero sería mejor si el dibujo tuviera algún elemento que nos ayudara a visualizar el movimiento de la curva. Para ello nos bastará con definir un punto que tenga como valores (x,y) las funciones definidas para nuestra curva paramétrica y como argumento para las mismas el valor del deslizador t_1. De nuevo nos dirigimos a la ventana de comandos y escribimos:

(f(t_1), g(t_1))

También podríamos crear un punto de la manera habitual y luego editarlo para poner los valores x,y deseados, sin embargo la ventana de comandos nos permite ahorrarnos muchos pasos.

Si a ese punto le añadimos dos segmentos que vayan desde los valores (f(t_1),0) y (0,g(t_1)) a nuestro punto, tendremos lo siguiente:

parametrica_2

En esta ocasión t_1 ha sido ajustado para que sea incremental, es decir, su valor crece hasta alcanzar el máximo y vuelve al valor inicial.

Aquí podéis obtener, a través de geogebratube, la sencilla animación con la que he empezado las explicaciones.

Y la cicloide

Tras las explicaciones con esta sencilla figura de Lissajous puedes imaginar como se creó la cicloide. Las funciones que se representan están escritas en la propia animación y se han creado con el mismo método que el usado anteriormente. La novedad en este caso es la rueda que va girando para crear la curva cicloide. En realidad la cicloide se dibuja normalmente y la rueda se mueve al mismo tiempo al estar fijada a un punto que está definido según los valores x(t), y(t).

Si en un fichero de geogebra vacío introducís los siguientes comandos:

f(t) = t - sin(t)
g(t) = 1-cos(t)
d=deslizador[0,4*pi]
O = (d,1)
P = (f(d),g(d))
Curva[f(t), g(t), t, 0, d]
Circunferencia[O, P]
Segmento[O,P]

Tendréis la cicloide funcionando en cuanto modifiquéis los valores del deslizador d:

Captura de pantalla 2013-04-16 a las 22.56.27

La cicloide sin adornos.

El resto de la animación es repetir lo aprendido, solo tenéis que crear las funciones para las derivadas de primer orden y segundo orden y pintarlas en sus posiciones correspondientes y adornar con cuadros sombreados, colores y algunos cuadros de texto en los que poner la fórmulas correspondientes. Vamos, lo que siempre se dice que son los remates finales, pero que al final te llevan más tiempo que la parte interesante de la animación ;P.

Finalmente aquí tenéis el fichero fuente de la animación subido en Geogebratube, para que podáis visualizarlo, descargarlo y jugar con él. Y si tenéis cualquier duda al respecto, aquí me tenéis.

PD: La animación es mejorable, pero no me detuve a optimizarla en su momento y seguro que hay objetos definidos sin uso o asesinatos de moscas con cañonazos como el uso de paramétricas para las velocidades y aceleraciones cuando bastaría con una función simple :P.

 

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